根据定义，只有既有上界又有下界的函数，才有资格称为有界函数。同样根据定义，所有有界函数，必然既有上界又有下界。
有界函数并不一定是连续的。根据定义，ƒ在D上有上（下）界，则意味着值域ƒ(D)是一个有上（下）界的数集。根据确界原理，ƒ在定义域上有上（下）确界。
一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合N。由ƒ (x)=sinx所定义的函数f，R→R是有界的。当x越来越接近-1或1时，函数的值就变得越来越大。
扩展资料：
函数的有界性与其他函数性质之间的关系
函数的性质：有界性，单调性，周期性，连续性，可积性。
1，单调性
闭区间上的单调函数必有界。其逆命题不成立。
2，连续性
闭区间上的连续函数必有界。其逆命题不成立。
3，可积性
闭区间上的可积函数必有界。其逆命题不成立。
参考资料来源：百度百科-有界函数
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