已知二次函数f(x)=ax 2 +bx满足f(x-1)=f(x)+x-1，(1)求f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的零点，并写出f(x)＜

Question

已知二次函数f(x)=ax 2 +bx满足f(x-1)=f(x)+x-1，(1)求f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的零点，并写出f(x)＜0时，x取值的集合；(3)设F(x)=4f(a x )+3a 2x -1(a＞0，且a≠1)，当x∈[-1，1]时，F(x)有最大值14，试求a的值．

Answer 1

解：(1)∵f(x)=ax 2 +bx满足f(x-1)=f(x)+x-1， ∴a(x-1) 2 +b(x-1)=ax 2 +bx+x-1， 即ax 2 -(2a-b)x+a-b=ax 2 +(b+1)x-1， ∴ ，解得 ， ∴ 。 (2)由f(x)=0得函数的零点为0，1， 又函数f(x)的图象是开口向下的抛物线， ∴f(x)＜0时x＞1或x＜0， ∴x取值的集合为{x|x＞1或x＜0}． (3)由F(x)=4f(a x )+3a 2x -1(a＞0，且a≠1)，得F(x)=a 2x +2a x -1， ①当a＞1时，令u=a x ， ∵x∈[-1，1]， ∴ ， 令g(u)=u 2 +2u-1=(u+1) 2 -2， ， ∵对称轴u=-1， ∴g(u)在 上是增函数， ∴g max (u)=g(a)=a 2 +2a-1=14， ∴a 2 +2a-15=0， ∴a=3，a=-5（舍）； ②当0＜a＜1时，令u=a x ， ∵x∈[-1，1]， ∴ ， ∴g(u)=u 2 +2u-1=(u+1) 2 -2， ， ∵对称轴u=-1， ∴g(u)在 上是增函数， ∴ ， ∴ (舍)，∴ ； 综上， 或a=3．