若A，B是n阶矩阵，且I+AB可逆。求I+BA也可逆

如题所述

推荐答案 2011-10-11

看到几个证明, 感觉思路不清晰. 还是按定理直接证好些.

证明: 因为
(I+BA)[I-B(I+AB)^-1A]
= (I+BA) - (I+BA)B(I+AB)^-1A
= I + BA - B(I+AB)^-1A - BAB(I+AB)^-1A
= I + BA - B(1+AB)(I+AB)^-1A
= I + BA -BA
= I.
所以 I+BA 可逆, 且 (I+BA)^-1 = I-B(I+AB)^-1A

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第1个回答 2011-10-11

A*(I+BA)=A+ABA=(I+AB)A
(I+AB)的逆*A*(I+BA)=(I+AB)的逆*(I+AB)*A＝A
B*(I+AB)的逆*A(I+BA)=BA
I+B*(I+AB)的逆*A(I+BA)=I+BA
I=(I+BA)-B*(I+AB)的逆*A(I+BA)
I=(I-B*(I+AB)的逆*A)(I+BA)
故由定义，I+BA可逆，且（I+BA)的逆=I-B*(I+AB)的逆*A

引自http://zhidao.baidu.com/question/74965168.html

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