矩阵AB=E，可以证明BA=E吗？ 求证明。。

Question

如题所述

Answer 1

因为AB=E
所以|AB|=|A||B|=|E|=1≠0
那么|A|≠0
所以A可逆
在AB=E两边分别左乘A^(-1)，右乘A
A^(-1)ABA=A^(-1)EA
即BA=E追问

其实这是在定义AB=BA=E的前提下来证明的，我想问得是，可不可以从（a ij）*(b st)=E来证明 （b st)*(a ij)=E 。

追答

定义是：对于n阶方阵A，如果存在n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称矩阵A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵

因为定义说AB=BA=E才能说明B是A的逆矩阵，所以我并没有用这个定义说B是A的逆矩阵啊
我是用A可逆的充要条件|A|≠0来说明A可逆的

这个充要条件的证明是：
必要性：设矩阵A可逆，由AA^(-1)=E，有|AA^(-1)|=|A||A^(-1)|=1≠0，所以|A|≠0
充分性：我们可以证明A*A=AA*=|A|E，当|A|≠0时就可以说明A是可逆的，A^(-1)=(1/|A|)A
所以A可逆的充要条件是|A|≠0

所以可以这样证吧
但是确实要加上A、B是方阵
因为若A是n×m阶，B是m×n阶，也可以使AB=E
比如A=1 0 0
0 1 0
B=1 0
0 1
0 0