...PB与平面ABC成45°角,求二面角A-PB-C的正弦值答:设AC=m,由PC⊥BC,PA⊥平面ABC得∠ACB=90°.又∠ABC=30°,知BC=m.∴CD=BCsin30°=m,AB==2m.由PA⊥平面ABC,知∠PBA为PB与平面ABC所成的角.∴∠PBA=45°.∴PA=BA=2m.在Rt△PAC中,PC=.在Rt△PBC中,PB=.∵PB·EC=PC·BC,∴EC=.在Rt△ECD中,sin∠CED=,即二面角APBC的正弦值为.
正△ABC与正△BCD所成平面垂直,则求二面角A-BD-C正弦值,要用向量的方法...答:取BC中点E,作EF⊥BD于F,连AE,AF.∵正三角形ABC、BCD所在平面互相垂直,∴AE⊥平面BCD,AF⊥BD,∴∠AFE是二面角A-BD-C的平面角,AE=(√3/2)BC,EF=(√3/4)BC,tan∠AFE=AE/EF=2,∴sin∠AFE=(2√5)/5,为所求。