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n阶对称正定矩阵
为什么
n阶
实
对称矩阵
A为
正定矩阵
,则其对角线上的元素都大于零
答:
取 x = (0,...,1,...,0)^T,第i个分量为1,其余为0 则 x^TAx = aii > 0.即得A的主对角线上元素都大于0.
矩阵正定
的判定条件
答:
都有zTMz>0。其中zT表示z的转置。二、正定矩阵的性质 1、正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。2、若A为
n阶对称正定矩阵
,则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L,使得A=L*L′,此分解式称为正定矩阵的楚列斯基(Cholesky)分解。3、若A为n阶正定矩阵,则A为n阶可逆矩阵。
如何判断
矩阵
的
正定
性?
答:
都有zTMz>0。其中zT表示z的转置。二、正定矩阵的性质 1、正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。2、若A为
n阶对称正定矩阵
,则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L,使得A=L*L′,此分解式称为正定矩阵的楚列斯基(Cholesky)分解。3、若A为n阶正定矩阵,则A为n阶可逆矩阵。
正定矩阵
的特征及性质
答:
4、
正定矩阵
将方阵特征值,主元,行列式融为一体。正定矩阵的特征方法:1、
对称矩阵
A正定的充分必要条件是A的n个特征值全是正数。2、对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。3、对称矩阵A正定(半正定)的充分必要条件是存在
n阶
可逆矩阵U使A=U^TU 4、对称矩阵A正定,则A的主对角线元素均...
如何辨别
正定
和半正定和
负定
。
答:
一、正定矩阵判定:1、正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。2、若A为
n阶对称正定矩阵
,则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L,使得A=L*L′,此分解式称为 正定矩阵的楚列斯基(Cholesky)分解。3、若A为n阶正定矩阵,则A为n阶可逆矩阵。二、判定一个矩阵半正定:1、对于半正定矩阵来说...
如何辨别
正定
和半正定和
负定
。
答:
一、正定矩阵判定:1、正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。2、若A为
n阶对称正定矩阵
,则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L,使得A=L*L′,此分解式称为 正定矩阵的楚列斯基(Cholesky)分解。3、若A为n阶正定矩阵,则A为n阶可逆矩阵。二、判定一个矩阵半正定:1、对于半正定矩阵来说...
小弟请教个问题:设A是
n阶
实
对称矩阵
,则当t充分大时,A+tE为
正定矩阵
.
答:
实
对称矩阵
必有实特征根 设A的特征根组成的对角矩阵为M 则A=P^(-1)*M*P A+tE=P^(-1)*(M+tE)*P 当t充分大时,A+tE的特征根全为正值 于是A+tE为
正定矩阵
正定矩阵
的性质是什么?
答:
正定矩阵
有以下性质:(1)正定矩阵的行列式恒为正;(2)实
对称矩阵
A正定当且仅当A与单位矩阵合同;(3)若A是正定矩阵,则A的逆矩阵也是正定矩阵;(4)两个正定矩阵的和是正定矩阵;(5)正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。
设A是
n阶对称正定矩阵
,求证:存在唯一的正定阵B使A=B*B
答:
正交对角化:存在正交阵Q和对角阵,使得 Q'BQ=D,Q'AQ=D^2=diag{e1,e2,..,en},e1,...,en是A的特征值 因为B也是
正定
,所以D=diag{sqrt(e1),...,sqrt(en)}唯一确定,那么B也唯一确定B=QDQ'
如何判断一个
矩阵
的
正定
性?
答:
判定定理3:任意阵A为正定的充分必要条件是:A合同于单位阵。正定矩阵的性质:1.正定矩阵一定是非奇异的。奇异矩阵的定义:若n阶矩阵A为奇异阵,则其的行列式为零,即 |A|=0。2.正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。3.若A为
n阶对称正定矩阵
,则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L,使得...
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