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证明同态和同构映射的题
近世代数2——群
同态
答:
自同构,如同群的自我
映射
,赋予了群结构的内在旋转。若 φ 本身就是群 G 的同构,我们称之为自同构,它是群结构保持完整性的关键。自
同构的
集合 G^* 和自同构群 G^*,通过映射复合构成了一幅精妙的图景。特别地,当我们谈论核和像时,群
同态
φ 的力量显现出来。核 Ker(φ) 描述了 φ 的...
设G是群,o是G到G上的
同态映射
,核为N,若H是G的子群,那么o1(o(H))=?
答:
p^(-1),这是从H到H的一个群
同构
(
证明
它是可逆的群同态),也就是Aut(H)里的一个元素,这个元素是由p决定的。这给出了从P到Aut(H)的一个群同态,这个群
同态的
核是1,因为A_5中的5阶元与任何非5阶元都不交换(试证之,并证明由此可以推出上面那个群同态的核是1)。现在P和Aut(H)都...
近世代数: 能否举自然数集运算的例子,说明一下
同态和同构
?
答:
简单的理解
同态
是一般的线性
映射
,而同构需要是既是满射,又是单射。如,偶数集和自然数集是
同构的
。而自然数集和有限自然数集的映射不是同态但可以是构造同构。
求出群Zn上所有的自
同构与
自
同态
答:
对于
同态
来说,将Zn的一个生成元
映射
到Zn一个子群的一个生成元上即可。
同构
就是把一个生成元映射到另一个生成元即可。
【离散数学】关于等价关系以及群
同构的证明
答:
传递的证明一般要借助三个变量,中间二元关系满足定义,能推出始末组合的二元关系满足定义,即可证明传递 群
同构的证明
,关键的步骤是证明 映射函数是双
射的
。同时要证明群是同态的,即满足
同态映射
证明函数双射得先证明函数是单射和满射 单射可以利用两个变量 x 和 y,若两个变量满足函数能推出 x ...
假定在两个群G和g的一个
同态映射
之下,A
对应
a,则A
与
a的阶是不是一定相 ...
答:
显然不一定相同.举个例子,G到{e}的一个
同态
.但
同构
阶一定相同.
近世代数问题:
同态和同构的
本质区别是什么?
答:
在抽象的意义下,
同构的
群是相同的群,研究中总是利用同构,把未知的群化为已知的群来研究.而同态一般没有这个优势.例子就是群{R,+}在e^x
映射
下同构于{R+,*},两个群可以看做相同的群.而{R,+}的一个正规子群{Z,+}构成的商群{R,+}/{Z,+},和{R,+}在自然同态下是
同态的
,而不是同构的...
同态映射
下的两个群,元的阶是不是相同
答:
答案是:相同。
同态映射
下的两个群同构,那么存在一个
同构映射
,这是一个一一映射,因此两个群的元素的阶相同。在数学里,映射是个术语,指两个元素的集之间元素相互“对应”的关系,为名词。映射,或者射影,在数学及相关的领域经常等同于函数。基于此,部分映射就相当于部分函数,而完全映射相当于完全...
群
同构的
充分必要条件
答:
设E与F为两个有序集。称从E到F中的
映射
f是
同构
,如果它存在逆映射,并且f与f-1都是递增的。 即是说,对E的任一元素偶(x,y),关系x≤y与f(x)≤f(y)等价。在E与F皆为全序集的情况下,可以
证明
任一双
同态
是同构。例如, 指数函数x↦ex是从实数加法群R到严格正实数乘法群R*+上...
同调论的连续
映射
导出的
同态
答:
给了两个多面体|K|、|L|之间的一个连续
映射
F:│K│→│L│,可以将K适当重分成另一复形K┡,并用一个单纯映射去逼近F。利用这个单纯映射导出的同调群之间的
同态
得到Hn(│K┡│;G)到Hn(│L│;G)的同态,并且可以
证明
,Hn(│K┡│;G)与Hn(|K|;G)自然地
同构
。 于是记此同态为Fn:Hn...
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