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连续函数必有界证明
连续函数
的
证明
问题
答:
由f([a,b])为
有界
集,由确界定理知
一定
有上、下确界。 设M={f(x)} m={f(x)} 先证必存在一点x1∈[a,b],使f(x1)=M,若不然,对一切x∈[a,b],都有f(x)<M,作
函数
h(x)=,x∈[a,b]由M-f(x)≠0且
连续
,则h(x)在[a,b]上连续。由上面的
证明
知,h(...
函数
f在闭区间上
连续
,也
一定有界
对吗?
答:
对,若
函数
f在闭区间上
连续
,则f在上有界,判断函数是否有界有三种方法:1、理论法:若f(x)在定义域[a,b]上连续,或者放宽到常义可积(有限个第一类间断点),则f(x)在[a,b]上
必然有界
。2、计算法:切分(a,b)内连续,limx→a+f(x)存在limx→a+f(x)存在;limx→b−f(x)存在...
函数连续一定
有极限吗?
答:
有极限不
一定连续
,但是
连续一定
有极限。一个
函数连续
必须有两个条件:一是在此处有定义,二是在此区间内要有极限。因此,也可以说函数有极限是函数连续的必要不充分条件。函数极限是高等数学最基本的概念之一,导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有...
连续
的性质
答:
连续函数
的性质有:
有界性
,最值性,介值性等。一、有界性:所谓有界是指,存在一个正数M,使得对于任意x∈[a,b],都有|f(x)|≤M。
证明
,利用致密性定理,有界的数列必有收敛子数列。二、最值性:所谓最大值是指,[a,b]上存在一个点x0,使得对任意x∈[a,b],都有f(x)≤f(x0...
函数连续
的性质
答:
所谓
有界
是指,存在一个正数M,使得对于任意x∈[a,b],都有|f(x)|≤M。
证明
可用利用致密性定理:有界的数列必有收敛子数列。最值性:闭区间上的
连续函数
在该区间上
一定
能取得最大值和最小值。所谓最大值是指,[a,b]上存在一个点x0,使得对任意x∈[a,b],都有f(x)≤f(x0),则称f(...
用有限覆盖定理
证明
闭区间上
连续函数
的
有界性
答:
考察[a,b]上的
连续函数
f(x)取ε=1,由
连续性
,对于[a,b]上的任何一点x,存在δ>0,使得当t属于(x-δ,x+δ)∩[a,b]时|f(t)-f(x)|<ε 既然如此,每一点x都可以被一个开区间(x-δ,x+δ)覆盖,也就是开区间簇{(x-δ,x+δ)}覆盖了[a,b],取其有限子覆盖{(x1-δ1,x1+...
已知
函数
f(x)在R上
连续
,且极限为A,
证明
f(x)在R上
有界
答:
应该是当x趋向于无穷的时候极限为A。解答如下:由于极限为A,所以,存在B>0,使得当|x|>B时,有|f(x)-A|<1,这样,在【-B,B】区间之外,f(x)有下界A-1,上界A+1.而在区间【-B,B】上,由于
函数
是
连续
的,所以
有界
。综合这两种描述,结论得证。一楼的回答有逻辑错误,必须先用极限定...
连续
的周期
函数必有界
吗?
答:
这个说法是正确的。
连续
周期
函数
就是说当自变量连续变化的时候函数值出现
一定
的周期
性
,这是从图象上考察函数的性质。同一个函数值可对应多个自变量,形式:f(x+na)=f(x)其中a为周期,最明显的例子就是正弦余弦函数,因为其函数值的周期性又因为连续,所以肯定
有界
,上下界同时有。
如何
证明函数有界
例题
答:
如何
证明函数有界
例题:证明f(x)=x/(x^2+1)是R上的
有界函数
。证:|f(x)|=|x/(x^2+1)|≤|x/(2x)|=1/2对一切x∈R都成立,∴f(x)是R上的有界函数。
初等
函数连续
的条件是什么?
答:
连续函数
的相关定理:1、闭区间上的连续函数在该区间上
一定有界
。2、闭区间上的连续函数在该区间上一定能取得最大值和最小值。
证明
:利用确界原理:非空有上(下)界的点集必有上(下)确界。3、若f(a)=A,f(b)=B,且A≠B。则对A、B之间的任意实数C,在开区间(a,b)上至少有一点c,使f...
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