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如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=AC=4，AB=BC=22．（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面APC；（Ⅱ）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；（Ⅲ）若动点M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C的大小为π6，求BM的最小值．

推荐答案 2015-01-27

（Ⅰ）取AC中点O，∵AP=BP，∴OP⊥OC，
由已知得三角形ABC为直角三角形，
∴OA=OB=OC，△POA≌△POB≌△POC，
∴OP⊥OB，∴OP⊥平面ABC，
∵OP在平面PAC中，∴平面ABC⊥平面APC．…（4分）
（Ⅱ）以O为坐标原点，OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系．
由已知得O（0，0，0），B（2，0，0），A（0，-2，0），

C（0，2，0），P（0，0，2

），…（5分）
∴

＝(?2，2，0)，

＝(2，0，?2

)，

＝(0，2，2

)，
设平面PBC的法向量

＝(x，y，z)，
由

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