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(2014?金华模拟)如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥AC,PA=PB=PC=3,AB=23,AC=2.(Ⅰ)求证:平面PBC⊥平面
(2014?金华模拟)如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥AC,PA=PB=PC=3,AB=23,AC=2.(Ⅰ)求证:平面PBC⊥平面ABC;(Ⅱ)求二面角A-PB-C的正切值.
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推荐答案 推荐于2016-12-01
(Ⅰ)证明:设D为BC的中点,连结AD,DP.
因为AD⊥AC,所以DA=DB=DC.…(2分)
因为PA=PB=PC,所以△PAD≌△PBD≌△PCD,
所以∠PDA=∠PDB=∠PDC=90°,
即PD⊥平面ABC …(5分)
因为PD?平面PBC,
所以平面PBC⊥平面ABC.…(7分)
(Ⅱ)解:过A作AE⊥BC于E,过E作EG⊥PB于G,连结AG.
由(Ⅰ) 平面PBC⊥平面ABC,且平面PBC∩平面ABC=BC,
所以AE⊥平面PBC,所以AE⊥PB,…(9分)
又EG⊥PB,且AE,EG?平面AEG,AE∩EG=E,
所以PB⊥平面AEG,又AG?平面AEG,所以PB⊥AG;
所以∠AGE即为二面角A-PB-C的平面角.…(11分)
在Rt△ABC中,AB=2
3
,AC=2,可得∠ABC=30°,AD=2,所以AE=
3
,BE=3,PD=
5
,
在等腰△PBC中,PB=3,AC=2,可得sin∠PBC=
5
3
,所以EG=
5
,
所以,在Rt△AEG中,tan∠AGE=
AE
EG
=
15
5
,
即二面角A-PB-C的正切值为
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∵PE∩PD
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PA=PB=PC
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答:
如图,在三棱锥P-ABC中,
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