考研数学 泰勒公式求极限时皮亚诺余项的阶数为什么和公式不一样 ?

Question

李永乐复习全书（08版经济类,第80页，例2.45），把sinx、e^2x展开到5阶带皮亚诺余项，按照书中之前所给公式,
应该是 sinX=X- 1/6*X^3 + X^5/120+ O(X^6)
e^2X=1+ X^2 + 1/2*X^4 + 0(X^4)
也就是说，皮亚诺余项应该分别是 R2n（X）=O（X^6)、
和 Rn（X^2）=O（X^4)
可在此题解析中，sinX 的 R2n（X）=O（X^5)
e^2X 的 Rn（X^2）=O（X^5)，
请问这是为什么？莫非皮亚诺余项的阶数要求不严格？
着急啊，急盼高人指点.

Answer 1

皮亚若余项对阶数的要求低于拉格朗日余项对阶数的要求，而且你要对余项的意义理解，余项是指比你所列的泰勒公式的最后一项高阶的无穷小，如果用拉格朗日余项代替，那么余项应该至少是N+1阶，但用皮亚若余项就只要到N阶就可以了，当然高于这些阶数的都可以（N指的是泰勒公式最后一项的X的指数）

Answer 2

难道你们数分老师没讲过？余项中x的次数不低于式中x的最高次都可以！比如，sinX=X- 1/6*X^3 + X^5/120+ O(X^6)，x6次方也可以是x5次方、7次方！本回答被网友采纳

Answer 3

书中有时也有错误的.