直线与圆如何相切？

Question

如题所述

Answer 1

直线与圆相切时，可以利用切线的性质和圆的方程来推导出相切的公式。假设圆的方程为 (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中 (a, b) 为圆心坐标，r 为圆的半径。
首先，我们假设有一条以斜率 k 的直线与圆相切，并过圆上的点 (x0, y0)。由于切线与圆相切，所以切线与圆的切点与圆心的距离等于圆的半径。根据切线方程的性质，我们可以得到以下关系：
(d-ay1+bx1)/sqrt(a^2+b^2) = r
其中，(x1, y1) 为切点坐标，d 为切点到圆心的距离。
然后，我们将圆的方程代入到上述等式中，即得到：
(d-b-y0+bx0)/sqrt(1+b^2) = r
由于直线和圆的切点 (x1, y1) 也在直线上，所以我们可以将斜率 k 代入到上式中，得到：
(d-b-y0+kx1)/sqrt(1+k^2) = r
将直线的方程 y = kx + c 代入到上式中，可以得到：
(d-b-y0+kx1)/sqrt(1+k^2) = r
如果我们进一步假设直线经过点 (x0, y0)，即 y0 = kx0 + c，那么可以将 c 替换为 y0 - kx0，得到：
(d-b-y0+kx1)/sqrt(1+k^2) = r
综合以上推导，我们得到了直线与圆相切的公式：
(d-b-y0+kx1)/sqrt(1+k^2) = r
这就是直线与圆相切时的公式。需要注意的是，该公式中的变量包括直线的斜率 k，直线上的任意一点坐标 (x1, y1)，圆的半径 r 和圆心坐标 (a, b)。通过求解或代入具体数值，可以确定直线和圆的相切位置