求原点(0,0)到抛物线y=(x-4)^2+1的最短距离

Question

点到抛物线的最短距离怎么求，貌似简单，但我就是求不出。求大神指点！

Answer 1

设 P（x，y）是抛物线上任一点，

则 |OP|^2=x^2+y^2，

要使 |OP| 最短，就要使圆 x^2+y^2 = R^2 （1）与抛物线相切，

且切线与 OP 垂直，因此由 y'=2(x-4) 得 2(x-4)*(y/x) = -1，（2）

又 y=(x-4)^2+1，（3）

解得 x=3.12，y=1.77，R=3.59（近似解）。

也可以：令 f(x) = |OP|^2=x^2+[(x-4)^2+1]^2

则 f '(x)= 2x+4[(x-4)^2+1](x-4)，令 f'(x)=0，

得 

Answer 2

设抛物线上任意一点（x，（x-4）^2+1），然后先表示出距离的平方，是一个4次函数，再用求导法求最小值

Answer 3

待续，我正在努力续写

追答

无奈无奈