偏导数连续，那么这个函数是不是就是连续的

Question

如题所述

Answer 1

不能推出。
解析过程如下：
偏导数连续--> 该函数可微
该函数可微--> 该函数连续
该函数可微--> 该函数在这一点偏导存在
也就是说，偏导数连续是可微的充分条件，偏导数存在是可微的必要条件。也就是说存在一些偏导数不连续的函数但仍可微，也存在一些偏导数存在的函数但不可微。而可微一定连续（连续不一定可微）,所以从偏导数存在是得不出函数连续的。事实上偏导数连续虽然能推出函数连续,但条件过强,而偏导数存在这个条件又由于太弱从而推不出函数连续,比较“适中”的条件是,偏导数在一点的某个邻域内有界,则函数在该点连续。

Answer 2

偏导连续推出可微，可微推出连续，从而偏导连续函数连续