求数学专业的大神~关于连续随机变量期望值表达式的等价证明~

麻烦哪个数学专业的大神帮我证下这两个表达式等价，谢谢
P.S. f(x)是X的密度函数，F(x)是X的累积分布函数

推荐答案 2014-08-05

证明，
因为F(x)=P(X<x)=∫(-∞->x) f(y)dy
所以1-F(x)=∫(x->+∞) f(y)dy

然后把这两个关系带入第二个公式，
E(X)=∫(0->∞) [∫(x->+∞) f(y)dy] dx - ∫(-∞->0) [∫(-∞->x) f(y)dy] dx
=∫(0->+∞)dy [∫(0->y) f(y)dx] - ∫(-∞->0)dy [∫(y->0) f(y)dx] ------------------交换x和y的积分次序
=∫(0->+∞) yf(y)dy + ∫(-∞->0) yf(y)dy
=∫(-∞->+∞) yf(y)dy
=∫(-∞->+∞) xf(x)dx

得证。

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