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AB-BA=A则A不可逆求证明
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第1个回答 2022-08-08
由B只有有限个特征值,存在B的特征值λ,使得λ-1不是B的特征值.
设X是B的属于特征值λ的特征向量,即有X ≠ 0并满足BX = λX.
由AB-BA = A,有BA = AB-A.
于是BAX = ABX-AX = A(λX)-AX = λAX-AX = (λ-1)AX.
若AX ≠ 0,则AX是B的属于特征值λ-1的特征向量,与λ-1不是B的特征值矛盾.
因此AX = 0,以A为系数矩阵的齐次线性方程组有非零解,故A不可逆.
相似回答
若v是有限维线性空间,则不存在线性变换t,s使ts-st=e
答:
把线性变换转化为对应的矩阵,考虑n阶矩阵A、B,
证明AB-BA总是不可逆的:(1)若AB=0,则BA必然也是不可逆的,那么AB-BA不可逆
(2)若AB不等于0,则AB一定有一个非零特征值m,我们证明BA也必然有特征值m:设x不等于0,使得ABx=mx,两边左乘B:BA(Bx)=B(ABx)=m(Bx),从而m也是BA...
复数域上的矩阵
AB-BA=A
,
求证
A仅有零特征值
答:
由
AB-BA = A
有AB = BA+A = (B+E)A.进而有AB² = (B+E)AB = (B+E)²A,AB³ = (B+E)³A,.,AB^k = (B+E)^k·A.一般的,对任意多项式f(x),可得Af(B) = f(B+E)A.进一步可得:A²f(B) = Af(B+E)A = f(B+2E)A²,A³...
证明
如果A是
可逆
矩阵,
则AB
~
BA
答:
因为
A可逆
,所以有 A^-1(
AB
)A
=
BA
所以 AB BA (相似)
若矩阵
A不可逆
,
AB
和
BA
相似吗?
答:
解:命题一:设A,B是n阶矩阵,且有一个可逆,
证明AB
与
BA
相似。易证:不妨设
A可逆
, 故有 A^-1 (AB) A
=
BA,由对称性,证毕。由以上命题一知,当矩阵
A不可逆
时,若B是可逆的,
则AB
与BA相似。否则,见命题二。命题二:
A.B
两矩阵都不可逆。则AB与BA不一定相似。答:例如,A={0 0;...
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