将y=arctanx展开为x的幂级数

Question

如题所述

Answer 1

解题如下：

幂级数，是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。

拓展资料：

幂级数解法是求解常微分方程的一种方法，特别是当微分方程的解不能用初等函数或或其积分式表达时，就要寻求其他求解方法，尤其是近似求解方法，幂级数解法就是常用的近似求解方法。用幂级数解法和广义幂级数解法可以解出许多数学物理中重要的常微分方程，例如: 贝塞尔方程、勒让德方程。

Answer 2

1、arctanx 的麦克劳林级数展开式，须分三段进行考虑：

-∞ ≤ x ≤ -1、-1 < x < +1、1 < x < +∞

2、原因是：

A、展开过程中，须先求导，再进行积分；

B、求导跟积分之间，必须运用公比小于1的无穷等比数列求和公式；

C、运用等比求和公式时，必须考虑收敛与否，因此必须分成两部分：

|x| < 1、|x| ≥ 1；

D、在 |x| ≥ 1 时，有必须考虑积分的下限问题，因此还得再分为二。

3、具体过程，请参见下面的图片。

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Answer 3

解

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Answer 4

详情如图所示

有任何疑惑，欢迎追问

Answer 5

先求导，化幂级数，再积分