复数 因式分解

Question

根据a^2+b^2=(a+bi)(a-bi)，对下列各式进行分解因式
[提示：（1±i)^2=±2i]
1).x^3-1
2).x^3-8
3).x^4-1
4).x^4+1

Answer 1

1.x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)
=(x-1){(x+1/2)^2+3/4}
=(x-1)(x+1/2+√3/2i)(x+1/2-√3/2i）
2.x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4）
=(x-2){(x+1)^2+3}
=(x-2)(x+1+√3i)(x+1-√3i)
3.x^4-1=(x^2+1)(x^2-1)
=(x+i)(x-i)(x+1)(x-1)
4.x^4+1=(x^2+i)(x^2-i)
=(x+√i*i)(x-√i*i)
而√i=±(√2／2＋√2／2i)，具体求解过程参加参见 http://zhidao.baidu.com/question/30146553.html，这里取正
所以=(x+√2i／2-√2／2)(x-√2i／2＋√2／2i)