如果G为非Abel群，证明G的所有自同构构成的群AutG至少含有2个元素．

Question

如题所述

Answer 1

【答案】：G为非Abel群，必存在a，b∈G，满足ab≠ba．令f：G→G，f(x)=a^-1xa，则，y∈G有
f(xy)=a^-1(xy)a=(a^-1xa)(a^-1ya)=f(x)f(y)
这就证明了f为同态映射．由
f(x)=f(y)a^-1xa=a^-1yax=y
证明了f为单射．且对任意c∈G，有．f(aca^-1)=c，于是f为满射．从而证明了f为同构．
如果AutG只含有1个元素，即恒等映射．那么对于所有的x∈G，f(x)=a^-1xa=x，即x^a=ax，从而得到ab=ba，与ab≠ba矛盾．