有第一类间断点的函数可积分吗?

Question

同济第五版上册226页定理2:函数在[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则函数在[a,b]上可积。可是汤加凤老师讲的有第一类间断点的函数一定没有原函数。哪个才是对的啊??

Answer 1

　　你这里的 “可积” 和 “有原函数” 是两个概念，并不矛盾。
　　这里的 “可积” 指的是 “Riemann可积”，即可求定积分，你提到的定理 2 给出了一个可积函数类。而 “f(x) 有原函数” 指的是 “存在函数 F(x)，使 F‘(x) = f(x)”。可求定积分的函数未必有原函数，例如 Riemann 函数
　　　　R(x) = 1/q，x = p/q，p 与 q 是互质的整数，
　　　　　　= 0， x 为无理数，
在 [0, 1] 是可积的，但没有原函数。

　　你的 “有第一类间断点的函数一定没有原函数” 我没有找到反例，但我有一个有第二类间断点的函数有原函数的例子：
　　　　F(x) = (x^2)sin(1/x)，x≠0，
　　　　　　= 0， x=0，
其导函数
　　　　F’(x) = 2xsin(1/x) - cos(1/x)，x≠0，
　　　　　　 = 0， x=0，
在 x=0 有第二类间断点。

Answer 2

0.0............

Answer 3

都对。

有第一类间断点则不存在原函数

详情如图所示，有任何疑惑，欢迎追问