如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC,PA=PB，∠ABC=60º，∠BCA=90º，点D，F分别在棱PB,PC上

Question

且DE∥BC
（1）求证∶BC⊥平面PAC
（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值
（3）是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角？并说明理由

Answer 1

条件中，应为PA=AB
（1）由于PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，
又由条件，AC⊥BC，
所以 BC⊥平面PAC
(2)DE//BC，BC⊥平面PAC，所以DE⊥平面PAC
所以 ∠DAE就是AD与平面PAC所成的角。
设PA=AB=2a,
在底面ABC中，∠BAC=30º，BC=(1/2)AB=a.
又D是PB的中点，所以E是PC的中点，所以
DE=(1/2)BC=a/2
而易求得AD=√2a
所以 sin∠DAE=DE/AD=√2/4
(3)存在。由（1）得 平面PBC⊥平面PAC
令AE⊥PC，则AE⊥平面PBC
于是平面ADE⊥平面PBC，二面角A-DE-P为直二面角。
易求得 AC=√3a，PC=√7a
令AE⊥PC，则由 AP²=PE•PC，得PE=4a/7

Answer 2

1、基本都是在勾股定理，设AB=2，那么PA=2，AC=1，BC=根号3，
PC=根号5，PB=根号8
BC⊥PC，而且，∠BCA=90º，所以BC⊥平面PAC
2、利用上面结论，AE⊥DE，同时PE⊥DE
那么∠PEA即为两面角，用余弦定理算出cos∠PEA= - 3/5，那么sin∠PEA=4/5
3、可以，只要AE⊥PC即可，因为DE∥BC
始终有AE⊥DE，PE⊥DE
那么∠PEA即为两面角

Answer 3

1、PA⊥BC，BA⊥BC，所以BC⊥平面PAC
2、因为DE∥BC，所以DE⊥AC，DE⊥PC，DE⊥平面PAC，∠EAD就是要求的角，
题目有误啊？？？PA=PB？？？应该是PA=AB吧？？？

Answer 4

解：（1）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC．
又∠BCA=90°，∴AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC．
（2）∵D为PB的中点，DE∥BC，
∴DE= 12BC．
又由（1）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E，
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角．
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB．
又PA=AB，∴△ABP为等腰直角三角形，
∴AD= 12AB．
在Rt△ABC中，∠ABC=60°，∴BC= 12AB，
∴在Rt△ADE中，sin∠DAE= DEAD= BC2AD= 24，
即AD与平面PAC所成角的正弦值为 24．
（3）∵DE∥BC，又由（1）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC．
又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP为二面角A-DE-P的平面角．
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，
∴∠PAC=90°，∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC．
这时，∠AEP=90°，
故存在点E使得二面角A-DE-P是直二面角．

Answer 5

佩服 你真有耐心啊