二阶导数不变号,曲率圆为x^2+y^2=2为什么就可以判断二阶导数小于0？

Question

如题所述

Answer 1

曲率是描述曲线弯曲程度的一个物理量，是在某一点上曲线的弯曲程度的倒数，也可以理解为曲线在该点上的圆弧半径。在平面直角坐标系中，曲线上一点的曲率圆方程为：
(x - a)^2 + (y - b)^2 = 1 / |k|
其中，(a, b)是曲线上该点的坐标，|k|是曲线在该点处的曲率的绝对值。
对于曲率圆方程x^2 + y^2 = 2，可得其圆心坐标为(0, 0)，半径为r = 1/√2。因此，对于曲线上任意一点(x, y)，其曲率的绝对值为|k| = 1/r = √2 > 0。
现在假设二阶导数不变号，即f''(x) > 0或f''(x) < 0对于所有的x都成立。由于f(x)在曲线上，可以将f(x)视为曲线的纵坐标y，于是f'(x)就是曲线在该点处的斜率，f''(x)就是曲线在该点处的曲率的导数。如果f''(x) < 0，说明曲线在该点处的曲率是负的，也就是说曲线在该点处向内凸，即曲线的弯曲程度越来越大；如果f''(x) > 0，说明曲线在该点处的曲率是正的，也就是说曲线在该点处向外凸，即曲线的弯曲程度越来越小。
根据问题所给的曲率圆方程x^2 + y^2 = 2，我们可以发现，它是一个以原点为圆心、半径为√2的圆。如果曲线在某个点处的曲率大于0，那么它在该点处向外凸，曲线将远离圆心，不再落在圆内部；而如果曲线在某个点处的曲率小于0，那么它在该点处向内凸，曲线将靠近圆心，必然在圆内部。因此，如果曲线落在圆上，即x^2 + y^2 = 2，就可以推断该曲线在该点处的二阶导数小于0，即曲线在该点处向内凸。