证明x^5+x-1=0只有一个正根

Question

如题所述

Answer 1

证明构造函数f(x)=x^5+x-1
则f'(x)=4x^4+1＞0
知f(x)在R上是增函数
又由f(0)=-1,f(1)=1
知f(x)的图像与x轴在区间(0,1)只有一个交点
故
x^5+x-1=0只有一个正根。

Answer 2

证：
令f(x)=x⁵+x-1
f'(x)=5x⁴+1恒>0，f(x)在(-∞，+∞)上单调递增，至多有一个零点。
f(0)=0+0-1=-1<0，f(1)=1+1-1=1>0
f(x)在(0，1)内有零点，则此零点为唯一零点。
方程x⁵+x-1=0有唯一正根，在(0，1)内。

Answer 3

转化为函数零点