如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=AC=4，AB=BC=22．（1）若点P在底面ABC内的射影是点O，试指出点O的位置

如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=AC=4，AB=BC=22．（1）若点P在底面ABC内的射影是点O，试指出点O的位置，并说明理由；（2）求证：平面ABC⊥平面APC；（3）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．

推荐答案推荐于2016-04-12

（1）解：∵AC=4，AB=BC=2

，∴AC²=AB²+BC²，∴AB⊥BC

∵PA=PB=PC，∴点P在底面ABC内的射影O，满足OA=OB=OC
∴O是AC的中点；
（2）证明：由（1）知，PO⊥平面ABC．
∵PO?平面APC，
∴平面ABC⊥平面APC；
（3）解：取BC的中点为E，过A作AF⊥平面PBC交平面PAC于F，则∠APF就是PA与平面PBC所成的角
∵PB=PC=4，BC=2

，又BE=CE，∴BE⊥PE，BE=

，
∴由勾股定理，有PE=

．
∴S_△PBC=

BC×PE=

×2

．
∴V_A-PBC=

S_△PBC×AF=

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