二重积分求球面积用极坐标表示

Question

如题所述

Answer 1

二重积分下，被积函数为常数1，积分区域取xoy面上圆心为（0，0）且半径为R的圆。所求得的二重积分便是球体的表面积。（积分符号前乘以2是因为球面曲线Z有正负之分，所以要上半球面和下半球面分开积分。）

Answer 2

解：求半径是R的球的表面积。
以此球的球心为坐标原点建立直角坐标系，
则此球的表达式为 x²+y²+z²=R²
根据球体的对称性质知，球体全部表面积等于它在第一卦限表面积的8倍
∵z=√(R²-x²-y²)
==>αz/αx=-x/√(R²-x²-y²)，αz/αy=-y/√(R²-x²-y²)
∴dS=√(1+(αz/αx)²+(αz/αy)²)dxdy=Rdxdy/√(R²-x²-y²)
故 此球的表面积=8∫∫<D>dS (区域D为x²+y²=R²在xy平面的第一象限部分)
=8R∫∫<D>dxdy/√(R²-x²-y²)
=8R∫<0,π/2>dθ∫<0,R>rdr/√(R²-r²) (极坐标变换)
=-2πR∫<0,R>d(R²-r²)/√(R²-r²)
=-2πR[2√(R²-r²)]│<0,R>
=-2πR(2*0-2*R)
=4πR²。